最近在複習貝氏定理(Bayes’ theorem),總是逃不過一個經典的問題叫做
Monty Hall Problem 又稱蒙特霍問題、山羊問題或三門問題,我們最常聽到設定就是:
假設你正在參加一個遊戲節目,你被要求在三扇門中選擇一扇:其中一扇後面有一輛車;其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門,假設是一號門,然後知道門後面有什麼的主持人,開啟了另一扇後面有山羊的門,假設是三號門。他然後問你:「你想選擇二號門嗎?」轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎?
(from wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem)
很多人直覺會想,我一開始就選擇了一號門,跟之後主持人開門有什麼關係?為什麼拿獎的機率會變?
注意!其實主持人開門的動作恰好透露了他對於門後是否有獎品的信息,舉個例子,如果二號門後面就是車子,那麼主持人就一定不會開二號門,而是改開三號門,相反的,如果三號門後面有車子,那主持人就不會開三號門,如果主持人知道一號門後面有車子,那麼主持人就會隨機開二號門或者三號門。
開始算機率之前我們先把事件定義清楚:
事件:
H1 = 車子在一號門, H2 = 車子在二號門, H3 = 車子在三號門
Y1 = 主持人打開一號門, Y2 = 主持人打開二號門, Y3 = 主持人打開三號門 (我們採用跟問題一樣的事件)
再來我們可以計算機率:
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3 (這個又稱為Prior)
P(Y2 | H1) = 1/2 (假設H1 成立, 也就是車子在一號門後, 主持人選擇開二號門的機率,因為只剩下兩扇門所以機率是 1/2)
以此類推,我們也可以推出下面的其他機率
P(Y2|H2) = 0, P(Y2| H3) = 1, P(Y3| H1) = 1/2, P(Y3| H2) = 1, P(Y3|H3) = 0
接著我們可以用貝氏定理:
P(H|Y) = (P(H)P(Y|H)) / P(Y)
我們可算出在開了某一門(Y事件)的條件下,車子在某一個門(H事件)的機率是多少。
P(H1|Y3) = (P(H1)P(Y3|H1)) / P(Y3) ….. (1)
P(H2|Y3) = (P(H2)P(Y3|H2)) / P(Y3) ….. (2)
P(H3|Y3) = (P(H3)P(Y3|H3)) / P(Y3) = 0 (因為主持人不會開)
又分母的部分:
P(Y3) =P(H1)P(Y3|H1) + P(H2)P(Y3|H2) + P(H2)P(Y3|H2)
= 1/3(1/2 + 1 + 0) = 1/2
(marginal probability 的公式)
將結果帶入 (1), (2)
最後可以算出 P(H1|Y3) = 1/3, P(H2|Y3) = 2/3
因此在這個情況下,換到二號門拿到獎品的機率會變成兩倍!!
當然也不用遇到類似的問題都去計算機率,如果要比較直覺地去思考的話,我們要稍微改一下題目,假設現在有10,000道門,那麼主持人現在把9,998道門都打開了,然後問你要不要換門?當然要換!
因為你一開始選擇的其中一道門會中獎的機率非常低 (1/10,000),而剩下另一道門是主持人在知道車子在哪裡的條件下留下的一道門。而這個門後面有車子的機率會越來越大!